摘要:已知數列{an}.{bn},其中an=1+3+5+-+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然數n,使得an≤bn成立? 分析 對n賦值后,比較幾對an與bn的大小,可作出合理猜測,再用數學歸納法予以證明. 解 an=1+3+5+-+(2n+1)=(n+1)2, 當n=5時,a5=36,b5=25+4=36,此時a5=b5; 當n=6時, a6=49,b6=26+4=68,此時a6<b6; 當n=7時,a7=64,b7=27+4=132,此時a7<b7; 當n=8時,a8=81,b8=28+4=260,此時a8<b8. 猜想:當n≥6時,有an<bn. 3分 下面用數學歸納法證明上述猜想. ①當n=6時,顯然不等式成立,∴n=6時,不等式an<bn成立; ②假設當n=k(k≥6)時,不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;當n=k+1時.bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2, 而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2>6), 即2k2+4k-2>(k+2)2=[(k+1)+1]2. 由不等式的傳遞性,知bk+1>[(k+1)+1]2=ak+1. ∴當n=k+1時,不等式也成立. 8分 由①②可知,對一切n∈N,且n≥6,都有an<bn. 綜上所述,可知只有當n=5時,an=bn;當n≥6時,an<bn.因此存在使an≤bn成立的自然數n. 10分

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