【題目】對定義在上的函數和常數，，若恒成立，則稱為函數的一個“凱森數對”.

（1）若是的一個“凱森數對”，且，求；

（2）已知函數與的定義域都為，問它們是否存在“凱森數對”？分別給出判斷并說明理由；

（3）若是的一個“凱森數對”，且當時，，求在區間上的不動點個數（函數的不動點即為方程的解）.

【題目】已知函數

（1）討論函數f（x）的極值點的個數；

（2）若f（x）有兩個極值點x1、x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3-4ln2．

【題目】在某次水下考古活動中,需要潛水員潛入水深為30米的水底進行作業.其用氧量包含3個方面:①下潛時,平均速度為（米/單位時間）,單位時間內用氧量為（為正常數）;②在水底作業需5個單位時間,每個單位時間用氧量為0.4;③返回水面時,平均速度為（米/單位時間）, 單位時間用氧量為0.2.記該潛水員在此次考古活動中,總用氧量為.

（1）將表示為的函數;

（2）設0<≤5,試確定下潛速度,使總的用氧量最少.

【題目】已知一圓經過點，,且它的圓心在直線上.

（I）求此圓的方程；

（II）若點為所求圓上任意一點，且點,求線段的中點的軌跡方程.

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求在點處的切線方程；

（Ⅱ）若，求函數的單調區間；

（Ⅲ）若對任意的，在上恒成立，求實數的取值范圍．

【題目】設橢圓的焦點分別為 、，直線：交軸于點，且

（1）求橢圓的方程；

（2）過 分別作互相垂直的兩直線，與橢圓分別交于D、E和M、N四點， 求四邊形面積的最大值和最小值．

【題目】2018年10月28日，重慶公交車墜江事件震驚全國，也引發了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區組織居民學習了文明乘車規范.社區委員會針對居民的學習結果進行了相關的問卷調查，并將得到的分數整理成如圖所示的統計圖.

（1）求得分在上的頻率；

（2）求社區居民問卷調查的平均得分的估計值；（同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）

（3）由于部分居民認為此項學習不具有必要性，社區委員會對社區居民的學習態度作調查，所得結果統計如下：（表中數據單位：人）

根據上述數據，計算是否有的把握認為居民的學習態度與年齡相關.

附：，其中.

(1)若M是DE的中點，試在AC上找一點N，使得MN∥平面ABE，并給出證明；

(2)求多面體ABCDE的體積．

【題目】某企業生產的某種產品被檢測出其中一項質量指標存在問題．該企業為了檢查生產該產品的甲，乙兩條流水線的生產情況，隨機地從這兩條流水線上生產的大量產品中各抽取50件產品作為樣本，測出它們的這一項質量指標值．若該項質量指標值落在內，則為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本的頻數分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）根據圖１，估計乙流水線生產產品該質量指標值的中位數；

（Ⅱ）若將頻率視為概率，某個月內甲，乙兩條流水線均生產了5000件產品，則甲，乙兩條流水線分別生產出不合格品約多少件？

（Ⅲ）根據已知條件完成下面列聯表，并回答是否有85%的把握認為“該企業生產的這種產品的質量指標值與甲，乙兩條流水線的選擇有關”？

附：（其中為樣本容量）

（1）顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數X的概率分布；

（2）顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，

①求顧客乙中獎的概率；

②設顧客乙獲得的獎品總價值Y元，求Y的概率分布及期望.