Question

【題目】已知橢圓（）的上頂點與拋物線（）的焦點重合.

（1）設橢圓和拋物線交于， 兩點，若，求橢圓的方程；

（2）設直線與拋物線和橢圓均相切，切點分別為， ，記的面積為，求證： .

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據橢圓幾何性質得p，再根據對稱性得A坐標，代人橢圓方程可得a,（2）先根據導數幾何意義得拋物線切線方程，再與橢圓方程聯立，根據判別式為零確定切點，根據三角形面積公式表示面積，最后根據基本不等式求最值，證得結論.

試題解析：（1）易知，則拋物線的方程為

由及圖形的對稱性，不妨設，

代入，得，則.

將之代入橢圓方程得，得，

所以橢圓的方程為.

（2）設切點， 即，求導得，則切線的斜率為，方程，即，

將之與橢圓聯立得，

令判別式

化簡整理得， ，此時

設直線與軸交于點，則

由基本不等式得，

則，僅當時取等號，但此時，故等號無法取得，于是.