題目內容

【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為平行四邊形,,平面,,.

1)求證:平面;

2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)由題意知,利用等腰三角形三線合一的思想得出,由平面可得出,再利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面;

2)以點為坐標原點,、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系,計算出平面和平面的法向量,然后利用空間向量法計算出二面角的余弦值.

1)因為四邊形是平行四邊形,,所以的中點.

,所以.

因為平面,平面,所以.

,平面,平面,故平面;

2)因為,以為原點建立空間直角坐標系如下圖所示,

,則、、、,

所以,,,

設平面的一個法向量為,則,所以,

,令,則,,所以.

同理可求得平面的一個法向量,

所以.

又分析知,二面角的平面角為銳角,

所以二面角的余弦值為.

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