題目內容

【題目】若對于曲線上任意點處的切線,總存在上處的切線,使得,則實數的取值范圍是__________

【答案】

【解析】f(x)=﹣ex﹣x的導數為f′(x)=﹣ex﹣1,

設(x1,y1)為f(x)上的任一點,

則過(x1,y1)處的切線l1的斜率為k1=﹣ex1﹣1,

g(x)=2ax+sinx的導數為g′(x)=2a+cosx,

過g(x)圖象上一點(x2,y2)處的切線l2的斜率為k2=2a+cosx2

由l1⊥l2,可得(﹣ex1﹣1)(2a+cosx2)=﹣1,

即2a+cosx2=,

任意的x1R,總存在x2R使等式成立.

則有y1=2a+cosx2的值域為A=[2a﹣1,2a+1].

y2=的值域為B=(0,1),

有BA,即(0,1)[2a﹣1,2a+1].

,

解得0≤a≤

故答案為:[0, ]

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