題目內容

【題目】如圖,的三條內線段、、交于點、用紅、藍兩種顏色對的三條邊線和三條內線段染色,使同色的三線不交于一點.證明:在圖中所有的三角形中,至少存在兩個同色三角形,且它的各邊或延長線被另一線截得的兩線段之比的和大于3.

【答案】見解析

【解析】

根據抽屜原理,在三條邊線和二條線這6條線中,至少有3條是同色的,設共為紅色.則紅線的條數為5,43.

(1)若有5條紅線,則必有3條紅線交于一點,不合題意.

(2)若有4條紅線,可分兩類:

(i)如果3條是邊線.1條是內線或1條邊線、3條內線時,則都存在3條紅線交于一點,不合題意.

(ii)如果邊線和內線各有兩條時,不妨沒邊線為、,則內線只能是、.這時、都是紅色三角形,它們分別被直線、所截.

被直線所截.由梅氏定理..

由均值不等式,得.

因為下成立,所以上式等號不能成立.

.

(3)若有3條紅線,可分三類:

(i)如果3條都為邊線或都為內線時,顯然都不符合題意.

(ii)如果兩條為邊線,1條為內線時,設邊線為、,則內線必為.不妨設為.此時為紅色三角形,為藍色三角形,結論成立.

(iii)如果1條為邊線,兩條為內線時,相當于兩條邊線為藍線.1條內線為藍線,由(ii)知,結論成立.

綜合(1)、(2)、(3)知,命題成立.

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