題目內容

【題目】如圖所示,在直角坐標系中,曲線由中心在原點,焦點在軸上的半橢圓和以原點為圓心,半徑為2的半圓構成,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.

1)寫出曲線的極坐標方程;

2)已知射線與曲線交于點,點為曲線上的動點,求面積的最大值.

【答案】1,;(2.

【解析】

1)分別寫出曲線的上、下兩半部分的直角坐標方程,結合極坐標與直角坐標的互化公式,即可求解;

2)把射線代入曲線的極坐標方程,求得點的極經,然后寫出的面積,求得其最大值即可.

1)由題設可知,曲線上半部分的直角坐標方程為,

所以,曲線上半部分的極坐標方程為

曲線下半部分的直角坐標方程為,

所以,曲線下半部分的極坐標方程為,

故曲線的極坐標方程為,.

2)由題設,將代入曲線的極坐標方程可得:,

又點為曲線上的動點,所以,

由面積公式得:,

當且僅當,時等號成立,

面積的最大值為.

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