題目內容

【題目】已知圓心在軸的正半軸上,且半徑為2的圓被直線截得的弦長為.

1)求圓的方程;

2)設動直線與圓交于兩點,則在軸正半軸上是否存在定點,使得直線與直線關于軸對稱?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(2)當點時,直線與直線關于軸對稱,詳見解析

【解析】

1)設圓的方程為,由垂徑定理求得弦長,再由弦長為可求得,從而得圓的方程;

2)假設存在定點,使得直線與直線關于軸對稱,則,同時設,直線方程代入圓方程后用韋達定理得,即為,代入可求得,說明存在.

1)設圓的方程為:

圓心到直線的距離

根據垂徑定理得,

,解得,

,故圓的方程為

2)假設存在定點,使得直線與直線關于軸對稱,

那么,

聯立得:

.

故存在,當點時,直線與直線關于軸對稱.

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