Question

【題目】已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線截得的弦長為.

（1）求圓的方程；

（2）設動直線與圓交于兩點，則在軸正半軸上是否存在定點，使得直線與直線關于軸對稱？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當點為時，直線與直線關于軸對稱，詳見解析

【解析】

（1）設圓的方程為，由垂徑定理求得弦長，再由弦長為可求得，從而得圓的方程；

（2）假設存在定點，使得直線與直線關于軸對稱，則，同時設，直線方程代入圓方程后用韋達定理得，即為，代入可求得，說明存在．

（1）設圓的方程為：

圓心到直線的距離

根據垂徑定理得，

，解得，

，故圓的方程為

（2）假設存在定點，使得直線與直線關于軸對稱，

那么，

設

聯立得：

由

.

故存在，當點為時，直線與直線關于軸對稱.