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【題目】已知函數

(1)求函數y=f(x)的單調區間;

(2)若對于x∈(0,+∞)都有成立,試求m的取值范圍;

(3)記g(x)=f(x)+x﹣n﹣3.當m=1時,函數g(x)在區間[e﹣1,e]上有兩個零點,求實數n的取值范圍.

【答案】(1)在(0,2m)內單調遞減,在(2m,+)內單調遞增; (2)(,+); (3).

【解析】

(1)首先對函數求導,令導數等于零,求得自變量的值,從而判斷出導函數在相應區間上的符號,進而得到函數的單調區間;

(2)將恒成立問題轉化為最值來處理,結合第一問的結果,判斷出函數的最小值點,從而求得函數的最小值,得到結果;

(3)代入函數解析式,將零點問題轉化為函數圖象交點個數問題,求導研究函數單調性,求得結果.

(1),(,).

,解得.

可得:函數在(0,2m)內單調遞減,在(2m,+)內單調遞增.

(2)對于(0,+)都有成立(0,+),

由(1)可得:時,函數取得最小值,

.

化為:,,解得.

∴m的取值范圍是(,+).

(3)記.

時,函數.

函數在區間上有兩個零點函數與函數有兩個不同交點,.

可知:函數內單調遞減,在內單調遞增.

時,函數取得最小值,.

,.

.

.

.

即n的取值范圍是.

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