題目內容

【題目】在平面直角坐標系中,定長為3的線段兩端點、分別在軸,軸上滑動,在線段上,且.

(1)求點的軌跡的方程;

(2)設點是軌跡上一點,從原點向圓作兩條切線分別與軌跡交于點,,直線,的斜率分別記為,.

①求證:;

②求的最大值.

【答案】(1)見證明;(2)2.5

【解析】

,,,根據,可得,,再根據,即可求出軌跡方程,因為直線OP,OQ,與圓R相切,推出,是方程的兩個不相等的實數根,利用韋達定理推出結合點在橢圓C上,證明當直線OP,OQ不落在坐標軸上時,設,,通過,推出,利用,,在橢圓C上,推出,即可求出的最大值.

,,,

,

,,

,,

,

,

,

證明:直線OP,OQ,與圓相切,

直線OP與圓M聯立,

可得

同理,

由判別式為0,可得,是方程的兩個不相等的實數根,

,

在橢圓C上,所以,

;

當直線OP,OQ不落在坐標軸上時,設,,

,

,即,

,在橢圓C上,

,

整理得,

當直線落在坐標軸上時,顯然有,

綜上:

,

的最大值為

練習冊系列答案
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