題目內容

【題目】下列四個命題:

①函數是奇函數且在定義域上是單調遞增函數;

②函數有兩個零點,則;

③函數,則的解集為;

④函數的單調遞減區間為.

其中正確命題的序號為__________.

【答案】

【解析】

根據正切函數性質,判斷①錯誤;根據指數函數翻折變換畫圖,根據圖像即可求解參數取值范圍,知②錯;根據函數解析式判斷函數單調性及奇偶性,即可求解集,知③正確;根據復合函數單調性法則,求解單調區間,知④錯誤.

對于①,正切函數是奇函數,定義域為,單調區間為,在每一個區間內單調遞增,但不是在其定義域內單調遞增,故①錯誤;

對于②,函數有兩個零點,轉化成與直線有兩個交點,作兩個函數圖象,如下圖所示:

根據圖像,可知,故②錯誤;

對于③,函數,是奇函數,

,則函數上單調遞增,

,則

,解得

則解集為,故③正確;

對于④,函數是復合函數,令是內層函數,是外層函數,根據復合函數單調性同增異減,是增函數,則為減函數,又,則減區間為,故④錯誤;

故答案為:③

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