題目內容
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面ABCD為直角梯形，
，
，
，點E為AD的中點，
，
平面ABCD，且
（1）求證：
；
（2）線段PC上是否存在一點F，使二面角
的余弦值是
？若存在，請找出點F的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見證明；（2）見解析
【解析】
（1）由題意，證得
，再由線面垂直的性質，證得
，利用線面垂直的判定定理，即可證得
平面PEC，進而得到
．
（2）由（1）建立以H為坐標原點，HB、HC、HP所在直線分別為x，y，z軸的坐標系，由
與
共線，得
，再求得平面CPD和平面CPD的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解.
證明：（1）∵
，
，
∴
，
，
E為AD的中點，
，
≌
，
，
，
，
，
平面ABCD，
平面ABCD，
，
又
，且PH，
平面PEC，
平面PEC，
又
平面PEC，
．
解：(2)由(1)可知
∽
，
由題意得
，
，
，
，
，
，
，
、EC、BD兩兩垂直，建立以H為坐標原點，HB、HC、HP所在直線分別為x，y，z軸的坐標系，
，
，
，
，
，
假設線段PC上存在一點F滿足題意，
與共線，
∴存在唯一實數
，
，滿足
，解得，
設向量
為平面CPD的一個法向量，
且
，
，
∴
，取
，得
，
同理得平面CPD的一個法向量
，
∵二面角
的余弦值是
，
∴
，
由
，解得
練習冊系列答案
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78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 05 B. 09 C. 07 D. 20
