題目內容

【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD為直角梯形,,,,點EAD的中點,,平面ABCD,且

(1)求證:;

(2)線段PC上是否存在一點F,使二面角的余弦值是?若存在,請找出點F的位置;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見證明;(2)見解析

【解析】

(1)由題意,證得,再由線面垂直的性質,證得,利用線面垂直的判定定理,即可證得平面PEC,進而得到

(2)由(1)建立以H為坐標原點,HB、HC、HP所在直線分別為x,y,z軸的坐標系,由共線,得,再求得平面CPD和平面CPD的一個法向量,利用向量的夾角公式即可求解.

證明:(1)∵,,

,,

EAD的中點,,

,,

,

,

,平面ABCD,平面ABCD,,

,且PH,平面PEC,平面PEC,

平面PEC,

解:(2)由(1)可知,

由題意得,,

,,,,,

、EC、BD兩兩垂直,建立以H為坐標原點,HB、HC、HP所在直線分別為x,y,z軸的坐標系,

,,,,,

假設線段PC上存在一點F滿足題意,

共線,

∴存在唯一實數,,滿足,解得,

設向量為平面CPD的一個法向量,

,,

,取,得,

同理得平面CPD的一個法向量,

∵二面角的余弦值是,

,

,解得

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