題目內容

【題目】如圖,在直角三棱柱,、分別為、的中點,,.

(1)求證:平面;

(2)求證:平面平面;

(3)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

(1)如圖所示,取AB的中點M,連接MF,利用三角形中位線定理及其培訓說不定判定定理可得四邊形MFC1E是平行四邊形,于是C1FEM,再利用線面平行的判定定理即可判斷出結論;

(2)由直三棱柱ABCA1B1C1,可得BB1⊥底面ABC,BB1AB,再利用線面垂直的判定定理面面垂直的判定定理即可證明結論;

(3)由(2)可知:ABBC.可建立如圖所示的空間直角坐標系.求出平面ABE和平面CBE的法向量,代入公式,即可得到結果.

(1)證明:如圖所示,取AB的中點M,連接MF,

MFAC,又EC1AC,

EC1MF,

∴四邊形MFC1E是平行四邊形,

C1FEM,又C1F平面ABE;

EM平面ABE;

C1F∥平面ABE

(2)證明:由直三棱柱ABCA1B1C1,∴BB1⊥底面ABC,

BB1AB,又C1FAB,BB1C1F相交,

AB⊥平面ABE,又AB平面ABE,

∴平面ABE⊥平面B1BCC1;

(3)解:由(2)可知:ABBC

因此可建立如圖所示的空間直角坐標系.F(0,1,0),設C1(0,2,t)(t>0),(0,1,t).

由題意可取平面ACC1A1的法向量為(1,1,0).

∵直線C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于,

|cos|,

解得t=2.

E(1,1,2),A(2,0,0),C(0,2,0),(2,0,0),(1,1,2),(0,2,0).

設平面ABE的法向量為x,y,z),則0,

可得:x=0,x+y+2z=0,取y=2,可得:(0,2,﹣1).

同理可得平面CBE的法向量為(2,0,﹣1).

∴cos

∴二面角ABEC的余弦值為

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