題目內容
【題目】 已知函數
（a為常數）.
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調區間；
（Ⅱ）當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）單調增區間為
，單調減區間為
和
．（2）
【解析】試題分析：（1）先確定函數定義域
，再求導函數
，進而求定義區間上導函數的零點
，最后列表分析導函數符號并確定單調區間：增區間為
，，減區間為
和
．（2）不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題： 
，再利用導數研究函數
單調性，確定當
時有最大值為
，即得實數
的取值范圍.
試題解析：解：（Ⅰ）函數的定義域為
，
當
時， 
，
，
由
得， 
，
由
得， 
或
，
∴函數
的單調增區間為
，
單調減區間為
和
．
（Ⅱ）當
時， 
恒成立，
令
，
問題轉換為
時， 
．
，
①當
時， 
，
在
上單調遞增，
此時
無最大值，故
不合題意．
②當
時，令
解得， 
，
此時
在
上單調遞增，
此時無最大值，故
不合題意．
③當
時，令
解得， 
，
當
時， 
，
而
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
，
令
， 
，
則
，
在
上單調遞增，
又
，
當
時， 
，
在
上小于或等于
不恒成立，即
不恒成立，
故
不合題意．
當
時， 
，
而此時
在
上單調遞減，
，符合題意．
綜上可知，實數
的取值范圍是
．
（也可用洛必達法則）
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【題目】從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數分布表：
質量指標值分組 | [75，85) | [85，95) | [95，105) | [105，115) | [115，125) |
頻數 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(1)作出這些數據的頻率分布直方圖；
(2)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；
(3)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%”的規定？
【題目】某中學擬在高一下學期開設游泳選修課，為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關，該學校對100名高一新生進行了問卷調查，得到如下列聯表：
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合計 |
已知在這100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為
．
（1）請將上述列聯表補充完整；
（2）并判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關？并說明你的理由；
（3）已知在被調查的學生中有5名來自甲班，其中3名喜歡游泳，現從這5名學生中隨機抽取2人，求恰好有1人喜歡游泳的概率．
下面的臨界值表僅供參考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，其中
）
