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【題目】是個循環小數,表示的小數點后第位開始,連續位上的數字之積.證明存在自然數、,對任意的、,均有

【答案】見解析

【解析】

不妨設為純循環小數,,的循環節為.即,,2,….

如果某個,可取,所以還假設,,

作代換,,則

以下證明,一定存在自然數,對任意的,均有

鑒于,證明只需要對來進行.

如果,,…,個乘積均不大于1,那么,可取

如果它們之中至少有一個大于1,不妨設是其中最大者,那么,

,,…,

這是因為,如果其中有一個大于1,那么把它乘到上去,就得到比更大的數,這與指標的選取矛盾.

另外,,,…,

這是因為,按的取法可知,上述各式左邊除去最初個因子,其余各因子之值均不小于

這樣,我們證明了一定存在自然數,對任意的,均有,

.從而,

同理可證一定存在自然數,對任意的,有,即

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