題目內容

【題目】已知函數.

1)若函數存在不小于的極小值,求實數的取值范圍;

2)當時,若對,不等式恒成立,求實數的取值范圍.

【答案】1;(2.

【解析】

1)利用導數分析函數的單調性,求出函數的極值,然后令極值大于等于,解出不等式可得出實數的取值范圍;

2)構造函數,問題等價于,對實數進行分類討論,分析函數在區間上的單調性,結合條件可得出實數的取值范圍.

1)函數的定義域為,.

時,,函數在區間上單調遞減,

此時,函數無極值;

時,令,得,

又當時,;當時,.

所以,函數時取得極小值,且極小值為.

,即,得.

綜上所述,實數的取值范圍為;

2)當時,問題等價于,

,

由(1)知,在區間上單調遞減,

所以在區間上單調遞增,所以,

①當時,由可知,所以成立;

②當時,的導函數為恒成立,所以在區間上單調遞增,

所以.

所以,函數在區間上單調遞增,從而,命題成立.

③當時,顯然在區間上單調遞增,

,則,當時,,

所以,函數在區間上為增函數,即當時,.

,,

所以在區間內,存在唯一的,使得,

且當時,,即當時,,不符合題意,舍去.

綜上所述,實數的取值范圍是.

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