題目內容

【題目】已知函數f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+cosx+a(a∈R,a為常數). (Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若函數f(x)在[﹣ , ]上的最大值與最小值之和為 ,求實數a的值.

【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+cosx+a =sinxcos +cosxsin +sinxcos ﹣cosxsin +cosx+a
= sinx+cosx+a=2( sinx+ cosx)+a=2sin(x+ )+a,
∴函數f(x)的最小正周期T=2π;
(Ⅱ)∵x∈[﹣ , ],∴﹣ ≤x+ ,
∴當x+ =﹣ ,即x=﹣ 時,f(x)的最小值=f(﹣ )=﹣ +a,
當x+ = ,即x= 時,f(x)的最大值=f( )=2+a,
由題意,有(﹣ +a)+(2+a)= ,
∴a= ﹣1.
【解析】(Ⅰ)把f(x)的解析式先利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡,合并后再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數,利用周期公式即可求出f(x)的最小正周期;(Ⅱ)由x的范圍,求出這個角的范圍,根據正弦函數的圖象與性質求出f(x)的最大值及最小值,讓其和等于 列出關于a的方程,求出方程的解即可得到a的值.
【考點精析】掌握三角函數的最值是解答本題的根本,需要知道函數,當時,取得最小值為;當時,取得最大值為,則,,

練習冊系列答案
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【題目】[2019·龍泉驛區一中]交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統一為元,在下一年續保時,實行的是費率浮動機制,且保費與上一年車輛發生道路交通事故的情況相聯系,發生交通事故的次數越多,費率也就越高,具體浮動情況如下表:

交強險浮動因素和費率浮動比率表

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發生有責任道路交通事故

下浮

上兩個年度未發生有責任道路交通事故

下浮

上三個以及以上年度未發生有責任道路交通事故

下浮

上一個年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故

上一個年度發生兩次及兩次以上有責任道路交通事故

上浮

上一個年度發生有責任道路交通死亡事故

上浮

某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了70輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況,統計得到了下面的表格:

類型

數量

10

13

7

20

14

6

(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續保時保費高于基本保費的頻率;

(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損6000元,一輛非事故車盈利10000元,且各種投保類型車的頻率與上述機構調查的頻率一致,完成下列問題:

①若該銷售商店內有7輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內隨機挑選2輛,求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率;

②若該銷售商一次性購進70輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值(結果用分數表示).

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