題目內容

【題目】(1).公路上、兩鎮相距5公里,、往外各有兩條叉路成形狀,計劃在每條叉路上各建一加油站,要求每個站到、鎮及其他站(沿公路進過、鎮)距離互不相同,且距離均為整數公里,最長不超過15公里,此計劃能否實現?

(2).、向外各有3條叉路,欲建六個加油站,依然要求站與鎮,站與站之間距離互不相同且為整數公路,最長者不超過28公里,能否實現?為什么?

【答案】(1)(2)不能

【解析】

(1)兩叉路情況可以實現.

如圖所示:

其四站兩鎮間有種距離恰好互不相同,分別為公里.

(2)三叉路情況不能實現,假設圖中六站合要求,

、距離為、、、、、,因有種不同距離,

其總和為(公里).

在總和中,、、、、、各被計算7次,而,則共被計算16次,

故有等式,

由上式有這不成立,故不能實現.

注:上述方法在(公里)時,不適用(∵成立),其實,對為任意給定距離均不可實現.

下面介紹普遍證法:

設六個站建成如圖.

點記號,凡到距離為偶數公里的點均記號,凡到為奇數公里的點均記號,

于是,、及六個站均記上號,且同號兩點距離為偶數,異號兩點間距離為奇數,設有號,號,

,

又因奇數距離共個,而間奇數有14個,

于是,,

但滿足方程組①②的整數解、不存在,

故三叉路修站計劃不能實現.

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