題目內容

【題目】如圖,四邊形是平行四邊形,平面 平面,, ,,,,,的中點.

(1)求證: 平面;

(2)求證: 平面;

(3)求點到平面的距離.

【答案】(1)見證明;(2)見證明;(3)

【解析】

1)的中點,通過證明四邊形是平行四邊形,可得到 ,從而得證;

(2)由余弦定理證得,通過平面平面即可得證;

(3)由 平面,所以點到平面的距離等于點到平面的距離,通過計算距離即可.

(1)證明:取的中點,連接,

中,因為的中點,

所以 ,

因為 , ,,

所以 ,

所以四邊形是平行四邊形,所以 ,

平面,平面,

所以 平面

(2)證明:在中,,,,

由余弦定理得,

因為,

所以.

因為平面平面,平面,平面平面,

所以平面.

(3)解法1:由(1) 平面,

所以點到平面的距離等于點到平面的距離,

設點到平面的距離為,

,交的延長線于,

平面,所以是三棱錐的高

由余弦定理可得,

所以,.

.

因為,

,解得.

所以點到平面的距離為

解法2:因為 ,且,

所以點到平面的距離等于點到平面的距離的,

由(2).

因為平面,所以平面平面

過點于點,又因為平面平面,故平面.

所以為點到平面的距離.

中,,

由余弦定理可得

所以,

因此,

所以點到平面的距離為

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