題目內容

【題目】已知函數,.

1)若函數為偶函數,求實數的值;

2)存在實數,使得不等式成立,求實數的取值范圍;

3)若方程上有且僅有兩個不相等的實根,求實數的取值范圍.

【答案】1 2 3

【解析】

(1)根據函數的奇偶性的定義,可求得實數的值;

(2),得,由于,對a進行參數分離得,運用函數的單調性和不等式的存在性,可求得實數的取值范圍;

(3)分①當時,②當,③當時,分別討論方程的根的情況,可求得實數的取值范圍.

1)因為函數為偶函數,即函數為偶函數,所以,

所以,解得,

所以實數的值為1;

2,即,則,∵,

,

,則的定義域為,

,則,

時,,當時,,

所以上單調遞增,在上單調遞減,

因為是定義域為的奇函數,所以上單調遞增,在上單調遞減,

,所以上單調遞增,在上單調遞減,而,,

,得到;

3)①當時,上單調遞增,此時方程沒有根;

②當,,即時,因為有兩個正根,

所以,得,

③當時,設方程的兩個根為,則有,結合圖形可知上必有兩個不同的實根.

綜上,實數的取值范圍為.

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