Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數為偶函數，求實數的值；

（2）存在實數，使得不等式成立，求實數的取值范圍；

（3）若方程在上有且僅有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)根據函數的奇偶性的定義，可求得實數的值；

(2)由，得，由于，對a進行參數分離得，運用函數的單調性和不等式的存在性，可求得實數的取值范圍；

(3)分①當時，②當，③當時，分別討論方程的根的情況，可求得實數的取值范圍.

（1）因為函數為偶函數，即函數為偶函數，所以，

所以或，解得，

所以實數的值為1；

（2），即，則，∵，

∴，

令，則的定義域為，

設，則，

當時，，當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

因為是定義域為的奇函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

∵，所以在上單調遞增，在上單調遞減，而，，

∴，得到；

（3）①當時，在上單調遞增，此時方程沒有根；

②當，，即時，因為有兩個正根，

所以，得，

③當時，設方程的兩個根為，則有，結合圖形可知在上必有兩個不同的實根.

綜上，實數的取值范圍為.