題目內容
【題目】在圓上有21個點.證明：以這些點為端點組成的所有弧中，不超過120°的弧不少于100條.
【答案】見解析
【解析】
圓上任三點分圓所成的三段弧中，至少有一段弧超過120°.將這不超過120°弧的兩個端點連上弦，這樣，圓上任意三個點中至少有兩點有弦（稱為“邊”)相連.由于這樣的“邊”與不超過120°的弧建立一一對應.所以只需證明，圓上21個點連結的“邊”不少于100即可.
設
是連結“邊”數最少的那個頂點，
，
是從引出的共有
條“邊”.
由于每個點
引出不少于條“邊”，所以，所有這些“邊“不少于
條.其余
個點中的任意點，它們不應與有“邊”連結.但任三點中都至少有兩個點有“邊”連結，所以它們每兩個點間都有“邊”連結.這樣，又得到不少于
條“邊，以
表記這21個點間連有“邊”的總數，則
.
由
，
的極小值點
鄰近的整數為
及
.
在
中，
，
.
上述最小值是可以達到的.作圓的一條直徑
.在點
近旁的圓弧上取10個點，在點
的近旁的圓弧上取11個點.即可合于要求.這21個點間連結有
條“邊”
【題目】2020年寒假是特殊的寒假，因為疫情全體學生只能在家進行網上在線學習，為了研究學生在網上學習的情況，某學校在網上隨機抽取120名學生對線上教育進行調查，其中男生與女生的人數之比為11∶13，其中男生30人對于線上教育滿意，女生中有15名表示對線上教育不滿意.
（1）完成
列聯表，并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”；
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 | 120 |
（2）從被調查中對線上教育滿意的學生中，利用分層抽樣抽取8名學生，再在8名學生中抽取3名學生，作線上學習的經驗介紹，其中抽取男生的個數為
，求出的分布列及期望值.
參考公式：附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
