題目內容

【題目】在圓上有21個點.證明:以這些點為端點組成的所有弧中,不超過120°的弧不少于100.

【答案】見解析

【解析】

圓上任三點分圓所成的三段弧中,至少有一段弧超過120°.將這不超過120°弧的兩個端點連上弦,這樣,圓上任意三個點中至少有兩點有弦(稱為“邊”)相連.由于這樣的“邊”與不超過120°的弧建立一一對應.所以只需證明,圓上21個點連結的“邊”不少于100即可.

是連結“邊”數最少的那個頂點,,

是從引出的共有條“邊”.

由于每個點引出不少于條“邊”,所以,所有這些“邊“不少于條.其余個點中的任意點,它們不應與有“邊”連結.但任三點中都至少有兩個點有“邊”連結,所以它們每兩個點間都有“邊”連結.這樣,又得到不少于條“邊,以表記這21個點間連有“邊”的總數,則.

,的極小值點鄰近的整數為.

中,,

.

上述最小值是可以達到的.作圓的一條直徑.在點近旁的圓弧上取10個點,在點的近旁的圓弧上取11個點.即可合于要求.這21個點間連結有條“邊”

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