Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，且右焦點到右準線l的距離為1.過x軸上一點M(m，0)(m為常數，且m∈(0，2))的直線與橢圓C交于A，B兩點，與l交于點P，D是弦AB的中點，直線OD與l交于點Q.

(1) 求橢圓C的標準方程．

(2) 試判斷以PQ為直徑的圓是否經過定點．若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)＋y2＝1；(2)是，定點

【解析】

（1）由已知列出方程組解得，然后求得，得橢圓標準方程；

(2)首先確定直線AB斜率存在且不為0，然后設直線方程為y＝k(x－m)，求出P，Q點，寫出圓的方程(直徑式)，然后，即令斜率k的系數為零，常數項也為零，得出關于x，y的方程可得定點．審題注意題中m是常數，而非變量．

(1)由題意，得，解得所以a2＝2，b2＝1，

所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.

(2) 由題意，當直線AB的斜率不存在或為零時顯然不符合題意，所以可設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－m)．

又準線方程為x＝2，

所以點P的坐標為P(2，k(2－m))．

由得，x2＋2k2(x－m)2＝2，即(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，

所以xA＋xB＝，則xD＝·＝，yD＝k＝－，

所以kOD＝－，

從而直線OD的方程為y＝－x(也可用點差法求解)，

所以點Q的坐標為Q.

所以以P，Q為直徑的圓的方程為(x－2)2＋（y-k(2－m)）＝0，

即x2－4x＋2＋m＋y2-[ k(2－m)-]y＝0.

因為該式對k≠0恒成立，令y＝0，得x＝2±，

所以，以PQ為直徑的圓經過定點.