題目內容

【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C (a>b>0)的離心率為,且右焦點到右準線l的距離為1.x軸上一點M(m,0)(m為常數,且m(0,2))的直線與橢圓C交于A,B兩點,與l交于點P,D是弦AB的中點,直線ODl交于點Q.

(1) 求橢圓C的標準方程.

(2) 試判斷以PQ為直徑的圓是否經過定點.若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.

【答案】(1)y21;(2)是,定點

【解析】

1)由已知列出方程組解得,然后求得,得橢圓標準方程;

(2)首先確定直線AB斜率存在且不為0,然后設直線方程為yk(xm),求出P,Q點,寫出圓的方程(直徑式),然后,即令斜率k的系數為零,常數項也為零,得出關于x,y的方程可得定點.審題注意題中m是常數,而非變量.

(1)由題意,得,解得所以a22,b21,

所以橢圓C的標準方程為y21.

(2) 由題意,當直線AB的斜率不存在或為零時顯然不符合題意,所以可設直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為yk(xm)

又準線方程為x2,

所以點P的坐標為P(2,k(2m))

得,x22k2(xm)22,即(12k2)x24k2mx2k2m220,

所以xAxB,則xD·,yDk=-,

所以kOD=-,

從而直線OD的方程為y=-x(也可用點差法求解),

所以點Q的坐標為Q.

所以以P,Q為直徑的圓的方程為(x2)2y-k(2m))=0,

x24x2my2-[ k(2m)-]y0.

因為該式對k≠0恒成立,令y0,得x,

所以,以PQ為直徑的圓經過定點.

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