題目內容
【題目】如圖，正三角形ABC的邊長為2，D，E，F分別在三邊AB，BC和CA上，且D為AB的中點，
，
，
.
（1）當
時，求
的大��；
（2）求
的面積S的最小值及使得S取最小值時的值.
【答案】（1）θ＝60；（2）當θ＝45時，S取最小值
.
【解析】
試題本題主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定義、兩角和的正弦公式、倍角公式、三角形面積公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，在
中，
，①，而在
中，利用正弦定理，用
表示DE，在
中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用兩角和的正弦公式展開，解出
，利用特殊角的三角函數值求角
；第二問，將第一問得到的DF和DE代入到三角形面積公式中，利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡表達式，利用正弦函數的有界性確定S的最小值.
在△BDE中，由正弦定理得
，
在△ADF中，由正弦定理得
． 4分
由tan∠DEF＝
，得
，整理得
，
所以θ＝60． 6分
（2）S＝
DE·DF＝
． 10分
當θ＝45時，S取最小值
． 12分
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