題目內容

【題目】如圖,正三角形ABC的邊長為2,D,E,F分別在三邊AB,BC和CA上,且D為AB的中點,,,.

(1)當時,求的大;

(2)求的面積S的最小值及使得S取最小值時的值.

【答案】(1)θ60;(2)當θ45時,S取最小值.

【解析】

試題本題主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定義、兩角和的正弦公式、倍角公式、三角形面積公式等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問,在中,,,而在中,利用正弦定理,用表示DE,在中,利用正弦定理,用表示DF,代入到式中,再利用兩角和的正弦公式展開,解出,利用特殊角的三角函數值求角;第二問,將第一問得到的DF和DE代入到三角形面積公式中,利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡表達式,利用正弦函數的有界性確定S的最小值.

BDE中,由正弦定理得,

ADF中,由正弦定理得 4分

tanDEF=,得,整理得,

所以θ60 6分

(2)SDE·DF=

10分

當θ45時,S取最小值 12分

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